Werden sich die acht Planeten unseres Sonnensystems jemals angleichen, ohne die Ausdehnung des Universums, die Entropie, die abklingenden Umlaufbahnen und die Interferenzen von Körpern zu berücksichtigen, die mit ihren Umlaufbahnen kollidieren oder diese auf andere Weise stören ?

Was ist die "Periode" der Planeten? Wie oft würden sie sich perfekt ausrichten? Und wie weit in die Zukunft ist ihre nächste theoretische Ausrichtung, basierend auf ihren gegenwärtigen Positionen?

Dies ist eine ungenaue und dennoch einfache Antwort

Hiermit können Sie nur die Konfiguration der radialen Ausrichtung der Planeten berechnen .

Wenn Sie eine Annäherung möchten, sagen wir, wenn Sie die Position der Planeten als Zeiger in einer Uhr annähern, könnten Sie die Mathematik mit so etwas ausarbeiten.

Es wird angenommen, dass der Anfangswinkel für den Planeten zum Zeitpunkt - gemessen von einer beliebigen, aber festen Position aus, und die Länge des Jahres - in Tagen - für den Planeten . i t 0 l i$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Dann geht es weiter mit der Lösung dieses Gleichungssystems:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Ab hier würden Sie dann einfach den chinesischen Restsatz anwenden .

Wenn Sie das Minimum x ermitteln, erhalten Sie den Winkel, den der Planet, der zum Zeitpunkt den Winkel , bis zum Erreichen einer Ausrichtungskonfiguration zurückgelegt hätte . Angenommen, Sie wählen die Erde als den genannten Planeten und dividieren diesen Winkel durch eine vollständige Umdrehung ( ). Dann erhalten Sie die Anzahl der Jahre, in denen diese Konfiguration erreicht wird - ausgehend von der Konfiguration.θ i = 0 360 o t $t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

Die verschiedenen in Grad für alle Planeten am 1. Januar 2014 - Sie können dies als Ihr :t $\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Quelle

Die verschiedenen in Tagen für alle Planeten:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Schließlich unter einem ganzzahligen Wert aproximation und mit Hilfe dieses Online - Löser für das Gleichungssystem ist die Antwort , die durch geteilt Ihr gibt etwa 360 o 1,1218 × 10 $x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

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Habe gerade diese Seite gefunden, mit der du vielleicht herumspielen möchtest. Es ist eine interaktive Flash-Anwendung mit der genauen Position der Planeten.

Ich weiß auch, dass alle Informationen von dieser NASA-Seite abgerufen werden können und dass sie so genau sind, wie Sie sie bekommen können, aber sie sind für mich jetzt einfach unverständlich. Ich werde versuchen, es später zu überarbeiten, wenn ich Zeit finde.

Auch dieses Buch von Jean Meeus mit dem Titel Astronomical Algorithms behandelt alle grundlegenden Gleichungen und Formeln - es hat jedoch nichts mit Programmieralgorithmen zu tun.

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Sehen , dass Sie ein Programmierer sind, könnte es wert sein , dass Sie die NASA - Website Auschecken ich oben erwähnt, können die Daten für alle Planeten sogar über zugegriffen werden . Oder diese Sourceforge-Site, auf der sie Implementierungen für viele der im oben erwähnten Buch beschriebenen Gleichungen haben.$\tt{telnet}$

Die richtige Antwort lautet aus mehreren Gründen " nie ". Erstens , wie in Florins Kommentar ausgeführt, sind die Umlaufbahnen des Planeten nicht koplanar und können sich daher möglicherweise nicht ausrichten, selbst wenn jeder Planet willkürlich in seiner Umlaufbahn platziert werden könnte. Zweitens geschieht selbst eine reine radiale Ausrichtung niemals, weil die Perioden des Planeten nicht miteinander vereinbar sind - ihre Verhältnisse sind keine rationalen Zahlen. Schließlich entwickeln sich die Umlaufbahnen der Planeten über Jahrmillionen hinweg, hauptsächlich aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehungskraft. Diese Entwicklung ist (schwach) chaotisch und daher sehr lange unvorhersehbar.

Die falsche Antwort von Harogaston approximiert die Umlaufzeiten im Wesentlichen durch die nächsten entsprechenden Zahlen, was eine sehr lange Zeit ergibt (obwohl er dies nur um einen Faktor von falsch verstanden hat ).$10^{16}$

Eine viel interessantere Frage (und vielleicht die, die Sie tatsächlich interessiert hat) ist, wie oft sich die 8 Planeten fast radial ausrichten . Hier könnte " fast " einfach " von der Sonne aus gesehen innerhalb von$10^\circ$ bedeuten . In diesem Fall richtet sich die gegenseitige Anziehungskraft der Planeten aus und führt zu stärkeren Umlaufbahnänderungen als im Durchschnitt.

Es gibt einen viel einfacheren Weg, dies zu tun.

1) Berechnen Sie die Länge des Sonnenjahres in Erdentagen

2) Multiplizieren Sie die Länge der Jahre wie folgt: Merkur-Jahr * Venus-Jahr * Erd-Jahr * Mars-Jahr * Jupiter-Jahr * Saturn-Jahr * Uranus-Jahr * Neptun-Jahr

3) Teilen Sie durch 365, um Erdjahre zu erhalten.

Und Sie haben eine Zeit, in der sie sich wieder in Längsrichtung ausrichten (was bedeutet, dass die Winkel unterschiedlich sind, in der Draufsicht jedoch eine Linie bilden würden). Es wird sich nicht mit einer höheren Frequenz ausrichten, da einige dieser Planeten eine dezimale Anzahl von Erdentagen in ihrem Jahr haben.

Technisch gesehen besteht der wahre Weg, den Zeitraum zwischen der Ausrichtung aller 8 Planeten zu ermitteln, darin, die LCM aller 8 ihrer Jahreslängen zu ermitteln.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 8142529495200072031000. Ich verstehe, dass dies eine grobe Schätzung ist, da diese auf die nächste ganze Zahl gerundet sind, aber es gibt eine gute Vorstellung von der Anzahl der Tage würde nehmen.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. So viele Jahre.

Jede Schätzung der gemeinsamen Periode von mehr als zwei Planeten (dh nach wie viel Zeit richten sie sich ungefähr wieder in heliozentrischer Länge aus?) Hängt sehr stark davon ab, wie stark die Abweichung von der perfekten Ausrichtung akzeptabel ist.

Wenn die Periode des Planeten ist , und wenn die zulässige Abweichung in der Zeit ist (in den gleichen Einheiten wie ), dann wird die kombinierte Periode aller Planeten beträgt etwa Reduziert man also die zulässige Abweichung um den Faktor 10, erhöht man die gemeinsame Periode um den FaktorP i b P i P n P ≈ & Pgr; i P $i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$Dies ist für 8 Planeten ein Faktor von 10.000.000. Daher ist es sinnlos, einen gemeinsamen Zeitraum anzugeben, wenn Sie nicht angeben, wie viel Abweichung akzeptabel war. Wenn die akzeptable Abweichung auf 0 abfällt (um eine "perfekte Ausrichtung" zu erreichen), steigt die gemeinsame Periode auf unendlich an. Dies entspricht den Aussagen mehrerer Kommentatoren, dass es keine gemeinsame Frist gibt, da die Fristen nicht angemessen sind.

Für die von harogaston aufgelisteten Planetenperioden beträgt wenn die in Julianischen Jahren von jeweils 365,25 Tagen gemessen werden, so dass die übliche Periode in Jahren ungefähr wenn in Jahren gemessen wird. Wenn die Perioden auf den nächsten Tag angenähert sind, dann sind es Jahre und Jahre. Wenn die Perioden auf den nächsten 0,01 Tag angenähert sind, dann sind und Jahre.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

Die Ableitung der obigen Formel lautet wie folgt:

Ungefähre Perioden der Planeten durch Vielfache einer Basiseinheit : wobei eine ganze Zahl ist. Dann ist die gemeinsame Periode höchstens gleich dem Produkt aller . Dieses Produkt wird immer noch in Einheiten von gemessen ; Wir müssen mit multiplizieren , um zu den ursprünglichen Einheiten zurückzukehren. Die gemeinsame Periode ist also ungefähr$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Die obige Ableitung berücksichtigt nicht, dass gemeinsame Faktoren haben könnte, so dass die Ausrichtung früher erfolgt, als es nahelegt. Ob jedoch zwei gemeinsame Faktoren haben oder nicht , hängt stark von der gewählten Basisperiode , so dass es effektiv eine Zufallsvariable ist und die globale Abhängigkeit von von nicht beeinflusst .$p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Wenn Sie die akzeptable Abweichung eher in Bezug auf den Winkel als auf die Zeit ausdrücken , werden Sie erwartungsgemäß Antworten erhalten, die von der Größe der akzeptablen Abweichung abhängen, so stark wie bei der obigen Formel.

Siehe http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html für ein Diagramm von als Funktion von für alle Planeten, einschließlich Pluto.$P$$b$

BEARBEITEN:

Hier ist eine Schätzung mit akzeptabler Winkelabweichung . Wir möchten, dass alle Planeten in einem Längengradbereich der Breite , der auf dem Längengrad des ersten Planeten zentriert ist. Die Länge des ersten Planeten ist frei. Wir nehmen an, dass sich alle Planeten in koplanaren Kreisbahnen um die Sonne in die gleiche Richtung bewegen.$δ$

Da die Perioden der Planeten nicht angemessen sind, treten alle Kombinationen von Längengraden der Planeten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Die Wahrscheinlichkeit dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Länge des Planeten innerhalb des auf die Länge des Planeten 1 zentrierten liegt, ist gleich$q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Die Wahrscheinlichkeit dass sich die Planeten 2 bis alle innerhalb desselben auf dem Planeten 1 befinden, ist dann$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Um diese Wahrscheinlichkeit auf einen Durchschnittszeitraum zu übertragen, müssen wir jedes Mal, wenn alle Planeten ausgerichtet sind, abschätzen, wie lange sie ausgerichtet sind (bis zu ).$δ$

Die ersten beiden Planeten, die ihre gegenseitige Ausrichtung verlieren, sind die schnellsten und langsamsten Planeten. Wenn ihre synodische Periode , sind sie für ein Intervall und dann für einige Zeit außer Ausrichtung, bevor sie wieder in Ausrichtung gelangen. Jedes Alignment aller Planeten dauert also ungefähr ein Intervall , und alle diese Alignments zusammen decken einen Bruchteil aller Zeiten ab. Wenn die durchschnittliche Periode, nach der eine weitere Ausrichtung aller Planeten auftritt, , müssen wir , also$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Wenn es nur zwei Planeten gibt, ist unabhängig von , was zu erwarten ist.$P = P_*$$δ$

Wenn es viele Planeten gibt, ist der schnellste Planet viel schneller als der langsamste, also ist fast gleich der Umlaufzeit des schnellsten Planeten.$P_*$

Auch hier ist die Schätzung der durchschnittlichen Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ausrichtungen sehr empfindlich für die gewählte Abweichungsgrenze (wenn mehr als zwei Planeten beteiligt sind), daher ist es sinnlos, eine solche kombinierte Periode anzugeben, wenn Sie nicht auch angeben, was abweichung war erlaubt.

Es ist auch wichtig zu bedenken, dass (wenn es mehr als zwei Planeten gibt) diese (Nah-) Ausrichtungen von allen nicht in regelmäßigen Abständen auftreten.

Lassen Sie uns nun einige Zahlen eingeben. Wenn Sie möchten, dass alle 8 Planeten innerhalb eines Längengrads ausgerichtet sind, entspricht die durchschnittliche Zeit zwischen zwei solchen Ausrichtungen in etwa Bahnen des schnellsten Planeten. Für das Sonnensystem ist Merkur mit einem Zeitraum von etwa 0,241 Jahren der schnellste Planet. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Ausrichtungen aller acht Planeten auf einen Längengrad beträgt also etwa Jahre. 5 × 10 $P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Wenn Sie bereits mit einer Ausrichtung innerhalb von 10 Längengraden zufrieden sind, entspricht die durchschnittliche Zeitspanne zwischen zwei solchen Ausrichtungen in etwa Bahnen von Quecksilber, was ungefähr 500 Millionen Jahren entspricht.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Was ist die beste Ausrichtung, die wir in den kommenden 1000 Jahren erwarten können? 1000 Jahre sind ungefähr 4150 Bahnen von Quecksilber, also , also . In einem zufällig ausgewählten Intervall von 1000 Jahren befindet sich durchschnittlich eine Ausrichtung aller 8 Planeten innerhalb eines Segments von 90 °.δ ≤ 90 $(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$