Folgendes habe ich getan:
- Aufgrund ihrer Masse ist es am sichersten, zunächst Jupiter und Saturn sowie Uranus zu betrachten. Es könnte auch fruchtbar sein, die Erde in die Analyse einzubeziehen, relative Positionen, Beobachtungswinkel usw. zu erhalten. Also werde ich überlegen:
- Sonne
- Erde
- Jupiter
- Saturn
- Uranus
- Neptun
- Holen Sie sich die Standard-Gravitationsparameter (μ) für alle
- Erhalten Sie Anfangspositionen und Geschwindigkeiten über JPL / HORIZONS für alle diese Planeten. Ich hatte einige Daten von J2000.5 herumliegen, also habe ich nur die Zustandsvektoren vom 1. Januar 2000 um 12 Uhr verwendet.
- Schreiben Sie einen N-Body-Integrator mit integrierten MATLAB-Tools. Integrieren Sie dieses unvollständige Sonnensystem einmal ohne Neptun und einmal mit Neptun.
- Analysieren und vergleichen!
Also, hier sind meine Daten und der N-Körper-Integrator:
function [t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune()
% Time of integration (in years)
tspan = [0 97] * 365.25 * 86400;
% std. gravitational parameters [km/s²/kg]
mus_noNeptune = [1.32712439940e11; % Sun
398600.4415 % Earth
1.26686534e8 % Jupiter
3.7931187e7 % Saturn
5.793939e6]; % Uranus
mus_withNeptune = [mus_noNeptune
6.836529e6]; % Neptune
% Initial positions [km] and velocities [km/s] on 2000/Jan/1, 00:00
% These positions describe the barycenter of the associated system,
% e.g., sJupiter equals the statevector of the Jovian system barycenter.
% Coordinates are expressed in ICRF, Solar system barycenter
sSun = [0 0 0 0 0 0].';
sEarth = [-2.519628815461580E+07 1.449304809540383E+08 -6.175201582312584E+02,...
-2.984033716426881E+01 -5.204660244783900E+00 6.043671763866776E-05].';
sJupiter = [ 5.989286428194381E+08 4.390950273441353E+08 -1.523283183395675E+07,...
-7.900977458946710E+00 1.116263478937066E+01 1.306377465321731E-01].';
sSaturn = [ 9.587405702749230E+08 9.825345942920649E+08 -5.522129405702555E+07,...
-7.429660072417541E+00 6.738335806405299E+00 1.781138895399632E-01].';
sUranus = [ 2.158728913593440E+09 -2.054869688179662E+09 -3.562250313222718E+07,...
4.637622471852293E+00 4.627114800383241E+00 -4.290473194118749E-02].';
sNeptune = [ 2.514787652167830E+09 -3.738894534538290E+09 1.904284739289832E+07,...
4.466005624145428E+00 3.075618250100339E+00 -1.666451179600835E-01].';
y0_noNeptune = [sSun; sEarth; sJupiter; sSaturn; sUranus];
y0_withNeptune = [y0_noNeptune; sNeptune];
% Integrate the partial Solar system
% once with Neptune, and once without
options = odeset('AbsTol', 1e-8,...
'RelTol', 1e-10);
[t, yout_noNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_noNeptune) , tspan, y0_noNeptune , options);
[~, yout_withNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_withNeptune), t, y0_withNeptune, options);
end
% The differential equation
%
% dy/dt = d/dt [r₀ v₀ r₁ v₁ r₂ v₂ ... rₙ vₙ]
% = [v₀ a₀ v₁ a₁ v₂ a₂ ... vₙ aₙ]
%
% with
%
% aₓ = Σₘ -G·mₘ/|rₘ-rₓ|² · (rₘ-rₓ) / |rₘ-rₓ|
% = Σₘ -μₘ·(rₘ-rₓ)/|rₘ-rₓ|³
%
function dydt = odefcn(~, y, mus)
% Split up position and velocity
rs = y([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
vs = y([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]);
% Number of celestial bodies
N = size(rs,2);
% Compute interplanetary distances to the power -3/2
df = bsxfun(@minus, permute(rs, [1 3 2]), rs);
D32 = permute(sum(df.^2), [3 2 1]).^(-3/2);
D32(1:N+1:end) = 0; % (remove infs)
% Compute all accelerations
as = -bsxfun(@times, mus.', D32); % (magnitudes)
as = bsxfun(@times, df, permute(as, [3 2 1])); % (directions)
as = reshape(sum(as,2), [],1); % (total)
% Output derivatives of the state vectors
dydt = y;
dydt([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]) = vs;
dydt([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]) = as;
end
Hier ist das Treiberskript, mit dem ich einige nette Handlungen veröffentlicht habe:
clc
close all
% Get coordinates from N-body simulation
[t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune();
% For plot titles etc.
bodies = {'Sun'
'Earth'
'Jupiter'
'Saturn'
'Uranus'
'Neptune'};
% Extract positions
rs_noNeptune = yout_noNeptune (:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
rs_withNeptune = yout_withNeptune(:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
% Figure of the whole Solar sysetm, just to check
% whether everything went OK
figure, clf, hold on
for ii = 1:numel(bodies)
plot3(rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+1),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+2),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+3),...
'color', rand(1,3));
end
axis equal
legend(bodies);
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
title('Just the Solar system, nothing to see here');
% Compare positions of Uranus with and without Neptune
rs_Uranus_noNeptune = rs_noNeptune (:, 13:15);
rs_Uranus_withNeptune = rs_withNeptune(:, 13:15);
figure, clf, hold on
plot3(rs_Uranus_noNeptune(:,1),...
rs_Uranus_noNeptune(:,2),...
rs_Uranus_noNeptune(:,3),...
'b.');
plot3(rs_Uranus_withNeptune(:,1),...
rs_Uranus_withNeptune(:,2),...
rs_Uranus_withNeptune(:,3),...
'r.');
axis equal
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
legend('Uranus, no Neptune',...
'Uranus, with Neptune');
% Norm of the difference over time
figure, clf, hold on
rescaled_t = t/365.25/86400;
dx = sqrt(sum((rs_Uranus_noNeptune - rs_Uranus_withNeptune).^2,2));
plot(rescaled_t,dx);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Absolute offset [km]');
title({'Euclidian distance between'
'the two Uranuses'});
% Angles from Earth
figure, clf, hold on
rs_Earth_noNeptune = rs_noNeptune (:, 4:6);
rs_Earth_withNeptune = rs_withNeptune(:, 4:6);
v0 = rs_Uranus_noNeptune - rs_Earth_noNeptune;
v1 = rs_Uranus_withNeptune - rs_Earth_withNeptune;
nv0 = sqrt(sum(v0.^2,2));
nv1 = sqrt(sum(v1.^2,2));
dPhi = 180/pi * 3600 * acos(min(1,max(0, sum(v0.*v1,2) ./ (nv0.*nv1) )));
plot(rescaled_t, dPhi);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Separation [arcsec]')
title({'Angular separation between the two'
'Uranuses when observed from Earth'});
was ich hier Schritt für Schritt beschreiben werde.
Zunächst ein Diagramm des Sonnensystems, um zu überprüfen, ob der N-Körper-Integrator ordnungsgemäß funktioniert:
Nett! Als nächstes wollte ich den Unterschied zwischen den Positionen von Uranus mit und ohne den Einfluss von Neptun sehen. Also habe ich nur die Positionen dieser beiden Uranus extrahiert und sie aufgezeichnet:
... das ist kaum sinnvoll. Selbst wenn Sie stark hineinzoomen und das Heck herausdrehen, ist dies keine nützliche Handlung. Also habe ich mir die Entwicklung der absoluten euklidischen Distanz zwischen den beiden Uranussen angesehen:
Das sieht jetzt eher so aus! Etwa 80 Jahre nach Beginn unserer Analyse sind die beiden Uranus fast 6 Millionen km voneinander entfernt!
So groß das auch klingen mag, im größeren Maßstab der Dinge könnte dies im Lärm ertrinken, wenn wir hier auf der Erde Messungen durchführen. Außerdem erzählt es immer noch nicht die ganze Geschichte, wie wir gleich sehen werden. Schauen wir uns als nächstes den Winkeldifferenz zwischen den Beobachtungsvektoren von der Erde zu den beiden Uranus an, um zu sehen, wie groß dieser Winkel ist und ob er über den Beobachtungsfehlerschwellen hervorstechen kann:
... whoa! Weit über 300 Bogensekunden Unterschied, plus alle Arten von wackeligen Bobbley Timey Wimey Ripple. Das scheint gut in den Beobachtungsmöglichkeiten der Zeit zu liegen (obwohl ich so schnell keine verlässliche Quelle dafür finden kann; irgendjemand?)
Nur zum guten Teil habe ich auch diese letzte Handlung produziert, die Jupiter und Saturn aus dem Bild lässt. Obwohl einige Störungstheorie in der 17 entwickelt worden war th und 18 th Jahrhundert wurde es nicht sehr gut entwickelt und ich bezweifle sogar Le Verrier Jupiter in Betracht zog (aber auch hier könnte ich falsch sein, bitte korrigieren Sie mich , wenn Sie mehr wissen).
Also, hier ist die letzte Handlung ohne Jupiter und Saturn:
Obwohl es Unterschiede gibt, sind sie winzig und vor allem für die Entdeckung von Neptun irrelevant.
