Welche Form haben Sternbahnen in flachen Spiralgalaxien (entlang der Ebene, nicht auf und ab)?

Ich meine, mit einer zentralen Masse sind die Umlaufbahnen relativ einfach, aber die Umlaufbahnen um die Galaxie sind unterschiedlich. Je weiter er sich vom Halo der dunklen Materie entfernt, desto größer ist das Gravitationsfeld, je weiter er sich vom Zentrum der Galaxie entfernt Während sich die Umlaufbahnen verlangsamen, wenn kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt wird, umkreisen Sterne effektiv um mehr Masse, je weiter sie vom Zentrum der Galaxie entfernt sind, was sie möglicherweise beschleunigen könnte. Die Regel der gleichen Flächen über die gleiche Zeit scheint nicht mehr zu gelten.

Gibt es eine gemeinsame Form für galaktische Bahnen, wenn man die Auf- und Abbewegung relativ zur Ebene der Galaxie ignoriert? Gibt es eine Formel? Ich denke, Exzentrizität würde immer noch zutreffen, aber ich denke nicht, dass die Umlaufbahnen Ellipsen wären, also wäre es eine andere Art von Exzentrizität. Würden diese Umlaufbahnen dazu neigen, sich zu zirkulieren (in einer idealen Wolke aus dunkler Materie, wobei Störungen ignoriert werden? Offensichtlich würden Störungen im praktischen Sinne zu unvorhersehbaren Umlaufbahnen führen, nicht zu sauberen und ordentlichen Formeln Das Magnetfeld der Milchstraße spielt auch eine Rolle bei der Bildung ihrer Spiralarme, aber ich frage im idealen mathematischen Sinne, welche Form die Umlaufbahnen durch eine Galaxie aus 2D-Sicht haben würden, wobei Auf- und Abbewegungen ignoriert werden.

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Mir kam der Gedanke, dass die Frage einfacher durch ein Schwarzes Loch gestellt werden könnte, das tatsächlich durch einen Planeten oder sogar ein Neutrino mit niedriger Geschwindigkeit "umkreist" (wenn es Neutrinos mit niedriger Geschwindigkeit gibt). Das Innere einer Planetenbahn unterscheidet sich erheblich von der Kepler-Umlaufbahn, da die Schwerkraft zunimmt, wenn sich das Objekt weiter vom Zentrum entfernt. Die gesamte Umlaufbahn könnte immer noch einer Ellipse ähneln, aber die Gesetze für eine solche Umlaufbahn wären unterschiedlich. Sie würden die höchste Beschleunigung an den am weitesten vom Zentrum entfernten Punkten sehen, obwohl Sie wahrscheinlich immer noch die höchste Geschwindigkeit am nächstgelegenen Punkt zur Mitte sehen würden Center.

Wie auch immer, ich bin meistens nur neugierig, ob diese Form ausgearbeitet wurde und wie sie aussieht.

Dies ist eine interessante Frage, und so oft können interessante Fragen mit aktuellem Wissen nicht einfach beantwortet werden, aber diese Frage kann bis zu einem gewissen Grad beantwortet werden. Ich werde die Grundlagen der Orbitaltheorie durchgehen und beschreiben, wie sie auf Galaxien angewendet werden können und wie sie sich von Kepler-Systemen unterscheiden. Sie sollten ein vernünftiges Verständnis der Newtonschen Physik (schließlich leiten sich die Umlaufbahnen genau aus den Newtonschen Gesetzen ab) und über fundierte mathematische Kenntnisse verfügen. Wenn Sie diese Dinge nicht haben, springen Sie einfach zum Ende jedes Abschnitts, wo ich versuchen werde, die wichtigen Punkte hinter der Mathematik zusammenzufassen.

Eine kurze Anmerkung zur mathematischen Notation, die ich verwenden werde. Ein Punkt über einem Symbol zeigt eine Zeitableitung an (z. B. ), und nicht kursiv gedruckte Symbole sind Vektorgrößen (z . B. F ). Kommen wir zur Sache.$\dot{a}$$\bf F$

Die Orbitalgleichung der Bewegung

Betrachten Sie eine Masse als eine Position r und bewegen Sie sich mit einer Bewegung, die durch ˙ r beschrieben wird . Diese Masse erfährt eine Kraft F ( r ), die nur eine Funktion des radialen Abstands r vom Zentrum des Koordinatensystems ist. Ziel ist es hier, die Bewegungsgleichung zu bestimmen, die die Umlaufbahn der Masse aufgrund dieser Kraft beschreiben kann. Diese Gleichung kann dann verwendet werden, um nach r ( θ ) zu lösen . Nach dem Newtonschen Gesetz kann die Bewegungsgleichung zunächst als definiert werden$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Es ist zu beachten, dass in diesem Fall einfach die radiale Komponente von r ist und θ der Azimutwinkel des Körpers in einem sphärischen Koordinatensystem ist. Ich überlasse es Ihnen zu bestimmen, wie die Beschleunigung unter dem entsprechenden Koordinatensystem in die beiden oben genannten Komponenten aufgeteilt werden soll. Versuchen wir , unsere θ- Abhängigkeit so zu entfernen , dass wir nur eine Funktion von r haben . Dies kann durch Verwendung der Drehimpulserhaltung erreicht werden. Der Drehimpuls pro Masseneinheit ist gegeben durch ℓ = r 2 ˙ θ, so dass ˙ θ = ℓ / r 2 . Das gibt$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Dies ist nun eine Differentialgleichung, die es uns ermöglicht, nach zu lösen , aber wir wollen r ( θ ), also müssen wir eine Konvertierung durchführen. Lassen Sie uns neu parametrisieren, indem Sie u ≡ 1 / r definieren (der Grund wird in Kürze klar) und ¨ r in Bezug auf u und θ bestimmen .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Man beachte die Substitution von . Differenzieren Sie nun erneut, um ¨ r zu bestimmen .$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Setzen Sie dies in unseren Ausdruck für die Bewegungsgleichung und machen Sie die Transformation, die schließlich gibt$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Schreiben in einer bequemeren Form kommen wir endlich an

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

$u(\theta)$$r(\theta)$

Kepler-Bewegung

$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$ist die Gravitationskonstante. Die allgemeine Orbitalgleichung unter dieser Kraft wird nun

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Dies ist eine standardmäßige inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer konstanten Forcierungsfunktion. Wenn Sie Ihren Diff EQ kennen, sollten Sie die Lösung fast sofort kennen.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Orbitalbewegung in einer Galaxie

Ihre Frage beschreibt die Situation für Sterne (oder irgendetwas wirklich), die in einer Galaxie umkreisen, richtig. Sterne umkreisen keine zentralen, punktförmigen Massen. Sie sind sowohl in die baryonische als auch in die dunkle Materie eingebettet, aus der die Galaxie besteht, und umkreisen sie. Es ist ein gut bekanntes Konzept in der Physik , die kugelsymmetrische Massenverteilung auf Objekten keine Nettoanziehungskraft hat Innere zu dieser Verteilung, was bedeutet , dass für die Sterne in einer Galaxie, die Masse seine Bahn beeinflusst , ist die Masse Innenraum zu seinem Radius. Wenn sich dieser Radius ändert, ändert sich die Masse!

$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

$r$$r$$\rho(r)$

Ich habe jetzt alle Schritte beschrieben, die Sie benötigen, um die Orbitalbewegung in einer Galaxie herauszufinden, aber ich muss sagen, es ist nicht schön. Wir können uns jedoch einen Teil des einfachsten Falls ansehen, den des SIS.

Einzelne isotherme Kugel

$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$ist konstant und hängt nicht vom Radius ab! (Angenommen, wir befinden uns nicht in der Nähe der galaktischen Ausbuchtung oder des Zentrums. Das ist ein ganz anderes Tier.)

$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Dies bedeutet, dass Ihre Kraft gegeben ist durch

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

$r^{-1}$$r^{-2}$

Wenn Sie so geneigt sind, können Sie dies in die obige Bewegungsgleichung einbinden und lösen, aber Sie arbeiten jetzt mit einer nichtlinearen Differentialgleichung, und die Dinge können schnell chaotisch werden.

Punchline : Ich bin mir nicht sicher, ob dies tatsächlich Ihre Frage beantwortet oder nicht. Ich habe dich teilweise durch das Kaninchenloch geführt, aber hoffentlich kannst du verstehen, wie komplex es schnell wird. Alle oben genannten Arbeiten verwendeten breite Annahmen und Vereinfachungen. Ich nehme an, die kurze Antwort auf all dies ist, dass Sterne Galaxien in einer komplexen, aber geschlossenen Umlaufbahn umkreisen, die nicht einfach (selbst für unsere eigene Galaxie) über berechenbare Gleichungen genau beschrieben werden kann. Wir können uns annähern und unser Bestes geben, um die Mathematik durchzuarbeiten, aber am Ende ist es eine Annäherung. In den gröbsten Annäherungen können Sie eine Umlaufbahn wie unseren Stern genauso gut als kreisförmig betrachten und damit fertig sein.