Eclipse-Zyklus-Berechnungen erforderlich

Ich schreibe eine Fiktion über eine Welt, in der:

Die Länge eines Jahres beträgt 335 Tage. Die Welt hat zwei Monde. Mond A ist größer und weiter entfernt mit einer 78-tägigen Mondumlaufbahn. Mond B ist kleiner und näher mit einer Umlaufbahn von 31 Tagen.

1. Wie oft würden beide Monde gleichzeitig voll sein und sich wie ein Bullauge überlappen?
2. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond A auftreten?
3. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond b auftreten?
4. Wie oft würden beide gleichzeitig in den Schatten stellen?

Dies ist eine Fiktion, so dass Freiheiten genommen werden können. Ich möchte nur, dass es nah ist.

Ehrlich gesagt, vier Körper reihen sich nicht periodisch aneinander, selbst wenn die Umlaufbahnen planar sind, es sei denn, es gibt ein gemeinsames Multiplum. Da alle Ihre Perioden ganze Zahlen sind, gilt dies. Beachten Sie jedoch, dass Ihre doppelten Ausrichtungen wie die doppelte Sonnenfinsternis oder die doppelte Mondfinsternis nicht periodisch sind, wenn eine der Perioden nicht genau diesem ganzzahligen System folgt. (so ist es nicht halten für 31,01 Tage, zum Beispiel. Wie Sie behandeln Quazi-Perioden wird darüber gesprochen hier ).

1. Wie oft würden beide Monde gleichzeitig voll sein und sich wie ein Bullauge überlappen?

Im Allgemeinen nicht periodisch, kann aber nur in der synodischen Periode der beiden Monde auftreten, dh:

.

$\frac{2418}{47}$ für die beiden Monde. Dies muss jedoch auch geschehen, wenn sich beide auf derselben Linie wie die Sonne befinden, dh wenn die relative Synodenperiode zwischen einem der Monde und der Sonne und die Synodenperiode der Monde beide die angeforderte Periode teilen. Für den inneren Mond und die Sonne ist die Synodenperiode . Da 47 mit 304 keine gemeinsamen Faktoren hat, erscheint das erste gemeinsame Multiplum bei.$\frac{10385}{304}$

2. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond A auftreten?

Hier ist die Antwort die Synodenperiode von Sonne und Mond, die bereits als oder 34,161 Tage angegeben wurde. Das ist etwas länger als die Umlaufzeit des Mondes, da sich der Planet in seiner Umlaufbahn ein wenig bewegt hat und die Position der Sonne am Himmel leicht verändert hat.$\frac{10385}{304}$

3. Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond B auftreten?

Auch hier ist die = 101,673 Tage.$\frac{26130}{257}$

Hier ist mein Versuch, vorausgesetzt, die Umlaufbahnen sind kreisförmig und entlang derselben Ebene . Andernfalls werden die Berechnungen komplexer und diese Variablen müssten angegeben werden. Die Größe des Planeten und die Größe der Monde würden sich ebenfalls auf die Berechnung auswirken (z. B. könnten sie niemals vollständig in den Schatten stellen, wenn der Planet ziemlich klein / dicht ist). Beachten Sie auch, dass Mond A Mond B und Mond B je nach Größe Mond A verdunkeln kann. Ich berücksichtige dies nicht in meinen Berechnungen (ich betrachte nur den Planeten, der sie verdunkelt).

1.Wie oft wären beide Monde gleichzeitig voll und überlappen sich wie ein Bullauge?

Ohne die Planetenbahn ist 31 eine Primzahl und 78 zerfällt in die Faktoren 2, 7, 7. Da es keinen gemeinsamen Nenner gibt, scheint es nicht so, als würden diese häufiger synchronisiert als 78 * 31 = 2418 Tage

2.Wie oft würden Mondfinsternisse bei Mond A auftreten?

Ungefähr 78 Tage (+ - ungefähr 78/335 Tage, da der Planet die Sonne umkreist)

3.Wie oft würden Mondfinsternisse für Mond b auftreten?

Ungefähr 31 Tage (+ - ungefähr 31/335 Tage, da der Planet die Sonne umkreist)

4.Wie oft würden beide gleichzeitig in den Schatten stellen?

Gleiche Antwort wie # 1, die ich nach 2418 Tagen berechne

Ich begrüße die Verfeinerung / Korrektur meiner Berechnungen, dies ist ein "grober Versuch".

HINWEIS: Ich verwende einen "geozentrischen" Referenzrahmen, in dem sowohl die Monde als auch die Sonne den Planeten umkreisen, und erstelle ein beliebiges xy-Koordinatensystem.

Aus der Antwort von @ Hohmannfan geht hervor, dass (Beantwortung Ihrer Fragen der Einfachheit halber nicht in der richtigen Reihenfolge):

• Mond B wird die Sonne alle (~ 34.16) Tage in den . In diesem Zeitraum schließt die Sonne einer Umlaufbahn ab, und Mond B vollendet Umlaufbahnen und überrundet die Sonne einmal.$\frac{10385}{304}$$\frac{31}{304}$$1\frac{31}{304}$

• Mond A wird die Sonne alle (~ 101,67) Tage in den Schatten stellen. Die Sonne wird einer Umlaufbahn abschließen , und Mond A wird sie überrunden, indem sie Umlaufbahnen abschließt.$\frac{26130}{257}$$\frac{78}{257}$$1\frac{78}{257}$

• Mond B überlappt Mond A einmal alle (~ 51.44) Tage, in denen Mond A einer Umlaufbahn abschließt und Mond B ihn mit Umlaufbahnen.$\frac{2418}{47}$$\frac{31}{47}$$1\frac{31}{47}$

Wie @Hohmannfan bemerkt, gibt es jedoch keine Garantie dafür, dass die Monde voll sind, wenn sie sich überlappen.

Es gibt auch keine Garantie dafür, dass die beiden Monde jemals genau zur gleichen Zeit die Sonne verdunkeln, obwohl sie sich dem willkürlich nähern:

In den Tagen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Mondüberlappungen bewegt sich die Sonne einer Umlaufbahn.$\frac{2418}{47}$$\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$

Wie oben haben die Monde einer Umlaufbahn vorgerückt .$\frac{31}{47}$

Im Vergleich zur Sonne haben die Monde also oder einer Umlaufbahn (Diese Zahl liegt überraschend nahe an aber das ist nur ein Zufall).$\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$$\frac{7967}{15745}$$\frac{1}{2}$

Dies geschieht zwischen jedem Paar von Überlappungen, sodass der Winkelabstand der Sonne (in Umlaufbahnen) von den überlappenden Monden beträgt, wobei der Winkelabstand bei einer bestimmten Überlappung und eine beliebige ganze Zahl ist.$\frac{7967 n}{15745}+r$$r$$n$

Damit die überlappenden Monde die Sonne muss eine ganze Zahl sein. Wenn irrational ist, kann dies niemals passieren.$\frac{7967 n}{15745}+r$$r$

Der Winkelabstand kann jedoch beliebig klein werden, selbst bis zu dem Punkt, an dem ein Beobachter nicht merkt, dass die Doppelmondfinsternis nicht 100% perfekt ist.

Mit einem ähnlichen Argument können Sie zeigen, dass sich die beiden Vollmonde willkürlich einer Überlappung nähern.

JETZT , wenn wir die vereinfachende Annahme treffen, dass beide Monde im Jahr 0 die Sonne verdunkeln (vielleicht haben Ihre Astronomen-Priester entschieden, dass dieses ungewöhnliche Ereignis ein guter Zeitpunkt ist, um die Jahre zu nummerieren, und glauben, dass Null (nicht Eins) eine gute Premiere ist Jahr) können wir einige andere Berechnungen durchführen.

Da sich die Monde alle Tage und die Sonne und Mond B alle Tage , werden sich alle drei (um eine Doppelmondfinsternis der Sonne zu bilden). auf das am wenigsten verbreitete Vielfache dieser Zahlen oder 810.030 Tage (das wären genau 2418 Ihrer Jahre, und beachten Sie, dass 2418 das Produkt der beiden Mondumlaufbahnen in Tagen ist). In dieser Zeit:$\frac{2418}{47}$$\frac{10385}{304}$

• Mond A wird genau 10.385 Umlaufbahnen absolviert haben.

• Mond B wird genau 26.130 Umlaufbahnen absolviert haben.

• Wie oben wird die Sonne genau 2.418 Umlaufbahnen absolviert haben.

Wie sich herausstellt, kann es niemals ein perfektes Doppel-Vollmond-Bullseye geben:

• Mond B ist am Tag (~ 17.08) voll. Zu diesem Zeitpunkt hat er einer Umlaufbahn abgeschlossen und die Sonne hat einer Umlaufbahn, also hat Mond B eine halbe Umlaufbahn auf der Sonne erreicht, die für einen Vollmond erforderlich ist. Danach ist der Mond alle Tage voll , die Zeitspanne, die die Sonne benötigt, um Umlaufbahnen abzuschließen, und Mond B, um abzuschließen. Umlaufbahnen.$\frac{10385}{608}$$\frac{335}{608}$$\frac{31}{608}$$\frac{10385}{304}$$\frac{31}{304}$$1\frac{31}{304}$

• Nach einer ähnlichen Berechnung ist Mond A am Tag (~ 50,84) und danach alle Tage .$\frac{13065}{257}$$\frac{26130}{257}$

• Um herauszufinden, wann beide gleichzeitig voll sind, lösen wir diese lineare diophantinische Gleichung:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

wobei n und m ganze Zahlen sind. Dies reduziert sich auf:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

Leider sind immer gerade, so dass immer ungerade sind. Da der Nenner ( ) gerade ist, teilen Sie eine ungerade Zahl durch eine gerade Zahl, und das Ergebnis kann niemals eine ganze Zahl sein.$47424 m$$47424 m+15745$$15934$

Dies erzählt jedoch nicht die ganze Geschichte. Wenn wir beispielsweise die Positionen am Tag (~ 377156.55) berechnen, finden wir:$\frac{34987576465283}{92766720}$

• Mond B ist bei 122,5656 Grad.

• Mond A ist bei 122,5581 Grad, nur ~ 27 Bogensekunden entfernt.

• Die Sonne steht bei 302,5658 Grad, 179,9998 Grad von Mond B und 179,9924 Grad von Mond A (~ 28 Bogensekunden von der Opposition entfernt).

Mit anderen Worten, dies kommt einem doppelten Vollmond ziemlich nahe, obwohl es nicht genau ist.

In ähnlicher Weise gibt es mehrere enge Anrufe, obwohl doppelte Sonnenfinsternisse nur einmal alle 810.030 Tage auftreten:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

In der obigen Tabelle sind alle Finsternisse innerhalb von 7,5 Minuten nach dem Bogen aufgeführt, wobei Tag die Anzahl der Tage ab dem Jahr 0 (einschließlich Tage vor dem Jahr 0) und sep die maximale Trennung (in Bogenminuten) von zwei beliebigen Mond A ist , Mond B und die Sonne. Beachten Sie, dass die Tage und perfekte Finsternisse sind.$0$$\pm 810030$

In ähnlicher Weise ist der nächste Punkt, an dem wir Doppelmonde am nächsten kommen, unten. In diesem Fall ist sep (in Bogenminuten) das Maximum von:

• der Winkelabstand von Mond A von der Opposition

• der Winkelabstand von Mond B von der Opposition

• der Winkelabstand zwischen Mond A und Mond B.

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Weitere Hinweise:

• Obwohl Sie sagten, dies sei Fiktion, ist es höchst unwahrscheinlich, dass die Umlaufzeit der Monde ein genaues Vielfaches des Planetentages sein wird. Die einzige Ausnahme ist, wenn der / die Mond (e) gezeitengesperrt sind. In diesem Fall entspricht die Umlaufzeit genau einem Tag.

• Ebenso ist es unwahrscheinlich, dass die Umlaufzeit des Planeten ein genaues Vielfaches seiner Rotationsperiode ist (unsere sicherlich nicht).

Dies ist im Allgemeinen ein interessantes Problem, und ich schreibe https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m , um ein ähnliches Problem zu lösen: https://physics.stackexchange.com / Fragen / 197481 /